جلسه چهارم: حل معادله انتقال حرارت براي كره با دماي ثابت سطح خارجي

نویسنده: م. ه. فرجودیان 

محصولات غذايي معمولا داراي اشكالي هستند كه ميتوان آنها را با تقريب بصورت استوانه و يا كره فرض كرد. در چند جلسه آينده معادله انتقال حرارت  براي استوانه و كره حل كرده و نيزبرنامه محاسبه دماي نقاط مختلف آنها را به زبان C ارائه خواهد شد. اين جلسه معادله براي كره با دماي سطح خارجي ثابت حل خواهد شد. حالتهايي كهh بسيار بزرگ است (مانند حالتهايي كه جسم در معرض انتقال حرارت با تقطير و جوشش باشد ويا حالتي كه در معرض جابجايي اجباري با سرعت جريان بالا است) شامل اين حالت خواهد بود.

فرضها:

1-    خواص جسم در طول دوره تغييردما تغيير نكند.

2-    از تاثير انتقال حرارت جابجايي صرف نظر شده و دماي سطح خارجي كره از ابتدا U0 در نظر گرفته شده.

معادله حرارت در سيستم مختصات دكارتي بصورت زير است:

clip_image001

كه در آن:

clip_image002

در مختصات قطبي :

clip_image003

ودر مختصات قطبي هم بصورت زير است:

 image004

در اين روابط U تابع دمااست و

image005

جسم را كره اي به شعاع r1 با شرايط زير در نظر مي گيريم:

image006

(1)

image007

(2)

image008

(3)

Ui دماي اوليه كره و U0  دماي سطح بيروني آن است.شرط (2) بيان كننده محدود بودن اندازه U در r=0 است. معادله حرارت بصورت زير خواهد بود:

image009

براي ساده تر شدن مسئله از تغيير متغير زير استفاده مي كنيم:

image010

شرايط (1) و (2)  و (3) بصورت زير خواهد شد:

image011

(4)

image012

(5) 

image013

(6)

با فرض اينكه W حاصل ضرب دو تابع TوR باشد:

image014

معادله حرارت بصورت زير خواهد شد:

image015

كه اين رابطه زماني امكان پذير است كه برابر ثابتي باشد، در نتيجه:

image016

image017

image018

براي حل معادله (7) از تغيير متغير زير استفاده مي كنيم:

image019

با جاگذاري معادله بصورت زير ساده مي شود:

image020

كه يك معادله ديفرانسيل درجه 2 با ضرايب ثابت است وجواب عمومي آن بصورت زير است:

image021

image022

از شرط مرزي (5) نتيجه مي شود:

image023

زيرا در غير اين صورت R در r=0 بيكران است.ونيز:

image024

از شرط مرزي (6) نتيجه مي شود:

image025

image026

(9)

از رابطه (8) نيز نتيجه مي شود:

image027

(10)

در نتيجه :

image028

براي سادگي an=BnCn بنابراين:

image029

با استفاده از شرط اوليه (4) :

image030

براي تعيين an از تعامد توابع مثلثاتي استفاده مي كنيم:

image031

(اثبات رابطه فوق درضميمه آخر همين جلسه.)

ودرنتيجه:

image032

image033

image034image035

 و:

image036

اين رابطه درجه حرارت نقاط مختلف كره را بر حسب زمان بيان ميكند.براي مثال اگر قطر كره 14mm و ساير مشخصات آن بصورت زير فرض شود:

image037

image038

بگيريم نمودار 1 دماي نقاط مختلف آن را به فاصله r از نقطه وسط در زمانهاي متفاوت نشان مي دهد.چنانكه ملاحظه مي شود در زمان t=0  دماي نقاط مختلف تقريبا صفر است. در زمان t=350 هم دماي نقاط مختلف تقريبا به 100oC رسيده.

نمودار 2 منحني تغييرات دماي نقاط مختلف كره را بر حسب زمان نشان مي دهد.

نمودار 3 فرم سه بعدي دو نمودار 1و2 است.

نمودار 4 دماي مركز كره برحسب زمان براي قطرهاي مختلف نشان مي دهد. چنانكه از اين نمودار مشاهده ميگردد هر چه قطر كره افزايش مي يابد زمان لازم براي اينكه دماي مركز آن به دماي مورد نظر برسد بيشتر است.

نمودار 5 هم فرم سه بعدي نمودار 4 است.

image039

نمودار (1)

نمودار (2)

نمودار (2)

Tunnel04

نمودار (3)

 

نمودار (4)

نمودار (4)

Tunnel06

نمودار (5)

برنامه زير كه به زبان ‍C نوشته شده دماي نقاط مختلف كره را در زمانهاي مختلف براي شرايط فوق ارائه مي دهد.

توضيحات برنامه:

زير برنامه fnf مقدار sCos(s)+Sin(s)  را بازمي گرداند.

زيربرنامه ZrsCal مقادير Zn را در رابطه sCos(s)+Sin(s)=0  رابازمي گرداند.

زيربرنامه ufn  مقدار U(t,r) را بازمي گرداند.


double ufn(float r,float t,float r1){

int n;

long double urt,sigma=0;

if(r!=0.0){

for(n=1;n<=50;n++)

sigma=sigma+pow(-1,n+1)/n*exp(-alfa*pow(n*pi/(r1/1000),2)*t)*sin(n*pi*r/r1);

urt=U0+2*(Ui-U0)*sigma*r1/(pi*r);

}

else{

for(n=1;n<=50;n++)

sigma=sigma+pow(-1,n+1)*exp(-alfa*pow(n*pi/(r1/1000),2)*t);

urt=U0+2*(Ui-U0)*sigma;

}

return urt;

}

 

void main(){

float r,d,t,r1,t1,t2,r2;

cout<<“Enter D(mm):”;

cin>>d;

cout<<“Enter k(W/m’C):”;

cin>>k;

cout<<“Enter c(KW/Kg’C):”;

cin>>c;

cout<<“Enter Density(Kg/m3):”;

cin>>Ro;

cout<<“Enter U0(‘C):”;

cin>>U0;

cout<<“Enter Ui(‘C):”;

cin>>Ui;

r1=d/2;

t1=pow(r1,1.9)*9+9;

t2=t1/5;

r2=r1/10;

alfa=k/Ro/(c*1000);

for(t=0.0;t<=t1;t=pow(t,1.1)+t2/20){

printf(“\n  r(mm)    t(Sec)      U(‘C)”);

printf(“\n—————————-“);

for (r=0.0;r<=r1;r=r+r2)

printf(“\n%6.2f    %5.0f       %5.1f”,r,t,ufn(r,t,r1));

cout<<“\n”;

}

t=1.8*t1;

printf(“\n  r(mm)    t(Sec)      U(‘C)”);

printf(“\n—————————-“);

for (r=0.0;r<=r1;r=r+r2)

printf(“\n%6.2f    %5.0f       %5.1f”,r,t,ufn(r,t,r1));

}

 

پاسخ دهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

شما می‌توانید از این دستورات HTML استفاده کنید: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>