جلسه پنجم: حل معادله انتقال حرارت براي كره با انتقال حرارت جابجايي

نویسنده: م. ه. فرجودیان

فرضها:

1-    خواص جسم در طول دوره تغييردما تغيير نكند.2-    از تاثير انتقال حرارت جابجايي صرف نظر شده و دماي سطح خارجي كره از ابتدا U0 در نظر گرفته شده.معادله حرارت در سيستم مختصات دكارتي بصورت زير است:

clip_image001

كه در آن:

clip_image002

در مختصات قطبي :

clip_image003

ودر مختصات قطبي هم بصورت زير است:

clip_image005

در اين روابط U تابع دمااست و

clip_image006

جسم را كره اي به شعاع r1 با شرايط زير در نظر مي گيريم:

clip_image009

clip_image010

clip_image011

Ui دماي اوليه كره و U0  دماي سطح بيروني آن است.شرط (2) بيان كننده محدود بودن اندازه U در r=0 است. معادله حرارت بصورت زير خواهد بود:

clip_image012

براي ساده تر شدن مسئله از تغيير متغير زير استفاده مي كنيم:

clip_image013

شرايط (1) و (2)  و (3) بصورت زير خواهد شد:

clip_image014

clip_image015

clip_image016

  با فرض اينكه W حاصل ضرب دو تابع TوR باشد:

clip_image017

معادله حرارت بصورت زير خواهد شد:

clip_image018

كه اين رابطه زماني امكان پذير است كه برابر ثابتي باشد، در نتيجه:

clip_image019

clip_image020

clip_image021

براي حل معادله (7) از تغيير متغير زير استفاده مي كنيم:

clip_image022

با جاگذاري معادله بصورت زير ساده مي شود:

clip_image023

كه يك معادله ديفرانسيل درجه 2 با ضرايب ثابت است وجواب عمومي آن بصورت زير است:

clip_image024

clip_image025

از شرط مرزي (5) نتيجه مي شود:

clip_image026

زيرا در غير اين صورت R در r=0 بيكران است.ونيز:

image024

از شرط مرزي (6) نتيجه مي شود:

clip_image027

clip_image029

clip_image030

clip_image031

 از رابطه (8) نيز نتيجه مي شود:

clip_image032

در نتيجه :

clip_image033

براي سادگي an=BnCn بنابراين:

clip_image034

با استفاده از شرط اوليه (4) :

clip_image035

براي تعيين an از تعامد توابع مثلثاتي استفاده مي كنيم:

clip_image036

(اثبات رابطه فوق درضميمه آخر همين جلسه.)

ودرنتيجه:

clip_image037

clip_image038

clip_image039

clip_image040

clip_image041

و:

clip_image042

اين رابطه درجه حرارت نقاط مختلف كره را بر حسب زمان بيان ميكند.براي مثال اگر قطر كره 14mm و ساير مشخصات آن بصورت زير فرض شود:

clip_image043

clip_image044

 نمودار 1 دماي نقاط مختلف آن را به فاصله r از نقطه وسط در زمانهاي متفاوت نشان مي دهد.چنانكه ملاحظه مي شود در زمان t=0  دماي نقاط مختلف تقريبا صفر است. در زمان t=350 هم دماي نقاط مختلف تقريبا به 100oC رسيده.

نمودار 2 منحني تغييرات دماي نقاط مختلف كره را بر حسب زمان نشان مي دهد.

نمودار 3 فرم سه بعدي دو نمودار 1و2 است.

نمودار 4 دماي مركز كره برحسب زمان براي قطرهاي مختلف نشان مي دهد. چنانكه از اين نمودار مشاهده ميگردد هر چه قطر كره افزايش مي يابد زمان لازم براي اينكه دماي مركز آن به دماي مورد نظر برسد بيشتر است.

نمودار 5 هم فرم سه بعدي نمودار 4 است.

graph-1

نمودار (1)

graph-2

نمودار (2)

Tunnel04

نمودار (3)

graph-3

نمودار (4)

Tunnel06

نمودار (5)

برنامه زير كه به زبان ‍C نوشته شده دماي نقاط مختلف كره را در زمانهاي مختلف براي شرايط فوق ارائه مي دهد.


 توضيحات برنامه:

زير برنامه fnf مقدار sCos(s)+Sin(s)  را بازمي گرداند.

زيربرنامه ZrsCal مقادير Zn را در رابطه sCos(s)+Sin(s)=0  رابازمي گرداند.

زيربرنامه ufn  مقدار U(t,r) را بازمي گرداند.

 


 

#include <stdio.h>

#include “iostream.h”

#include “math.h”

#include <conio.h>

double b,zrs[30];

float pi=3.1415926,U0,Ui,c,Ro,k,alfa;

long double fnf(double s,double cc){

double as;

as= s*cos(s)+cc*sin(s);

return as;

}

void zrscal(){

int i;

double x0=0,x=3;

for (i=1;i<=28;i++){

do{

x0=x;

x=x0-fnf(x0,b)/(fnf(x0+0.0001,b)-fnf(x0,b))*0.0001;

}while(fabs(x-x0)>=0.0001);

zrs[i]=x;

x=zrs[i]+3.1415926;

}

}

double ufn(float r,float t,float r1){

int n;

long double urt,sigma=0,frst;

if(r!=0.0){

for(n=1;n<=28;n++){

frst=sin(zrs[n]*r/r1)/(zrs[n]*r/r1);

sigma=sigma+(sin(zrs[n])/zrs[n])/(b+pow(cos(zrs[n]),2))*exp(-alfa*pow(zrs[n]/(r1/1000),2)*t)*frst;

}

urt=U0+2*(Ui-U0)*b*(1+b)*sigma;

}

else{

for(n=1;n<=28;n++)

sigma=sigma+sin(zrs[n])/zrs[n]/(b+pow(cos(zrs[n]),2))*exp(-alfa*pow(zrs[n]/(r1/1000),2)*t);

urt=U0+2*(Ui-U0)*b*(1+b)*sigma;

}

return urt;

}

void main(){

float r,d,t,r1,t1,t2,r2,h;

cout<<“Enter D(mm):”;

cin>>d;

cout<<“Enter h(W/m2’C):”;

cin>>h;

cout<<“Enter k(W/m’C):”;

cin>>k;

cout<<“Enter c(KW/Kg’C):”;

cin>>c;

cout<<“Enter Density(Kg/m3):”;

cin>>Ro;

cout<<“Enter U0(‘C):”;

cin>>U0;

cout<<“Enter Ui(‘C):”;

cin>>Ui;

r1=d/2;

t1=pow(r1,1.9)*9+9;

t2=t1/5;

r2=r1/10;

alfa=k/Ro/(c*1000);

b=h*r1/k/1000;

zrscal();

for(t=0.0;t<=t1;t=pow(t,1.1)+t2/20){

printf(“\n  r(mm)    t(Sec)      U(‘C)”);

printf(“\n—————————-“);

for (r=0.0;r<r1;r=r+r2)

printf(“\n%6.2f    %5.0f       %5.1f”,r,t,ufn(r,t,r1));

cout<<“\n”;

}

t=2*t1;

printf(“\n  r(mm)    t(Sec)      U(‘C)”);

printf(“\n—————————-“);

for (r=0.0;r<=r1;r=r+r2)

printf(“\n%6.2f    %5.0f       %5.1f”,r,t,ufn(r,t,r1));

} 


 

ضميمه:

clip_image050

با استفاده از تغيير متغير :

clip_image051

ويا

clip_image052

درنتيجه:

clip_image054

ازطرفي:

clip_image055

clip_image056

با جاگذاري و ساده كردن:

clip_image057

ازطرفي:

clip_image058

clip_image059

با جاگذاري:

clip_image061

clip_image062

با گرفتن مخرج مشترک :

clip_image063

clip_image065

clip_image066

ازطرفی:

clip_image067

با جاگذاری در رابطه بالا:

clip_image068

 

پاسخ دهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

شما می‌توانید از این دستورات HTML استفاده کنید: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>